확률변수(random variable)

직관

주사위를 굴렸을 때 짝수가 나올 확률에 관심이 있다고 해보자.

직관적으로 $P(짝수)=1/2, P(홀수)=1/2$ 이란것을 우리는 알고 있다.

이를 확률변수X를 사용해서 표현하면 다음처럼 된다. $$P(X=짝수)=1/2, P(X=홀수)=1/2$$

위를 보면 확률변수가 어떤것인지 대략적으로 감이 올것이다.

좀 더 세밀한 이해를 위해, 표본공간 부터 시작해서 썰을 풀어보자.

표본공간(sample space)

주사위를 굴렸을때는 우리가 관심있는 짝수나 홀수라는 이벤트가 직접적으로 나온다기 보다는 

1,2,3,4,5,6이라는 숫자가 나오고 이를 우리가 짝수, 또는 홀수로 해석한다고 말할 수 있다.

여기서 1,2,3,4,5,6이라는 raw하게 관측되는 low-level 정보를 모아서 표본공간이라고 이야기 하고 $S$또는 $\Omega$로  표기한다.

주사위를 던지는 실험에서 표본공간 $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$이 되고,

동전을 던지는 실험에서의 표본공간 $\Omega = \{앞면, 뒷면\}$이 된다.

동전을 두 번 던지는 실험에서의 표본공간 $\Omega = \{앞앞, 뒤뒤, 앞뒤, 뒤앞\}$이 된다.

주사위는 1,2,3,4,5,6이외에 다른것이 나올 수 없으므로 $P(\Omega)=1.0$이 된다.

사건공간(event space)

우리가 실제적으로 관심이 있는 확률은 주사위의 눈이 1일 확률, 2일 확률 이런 raw하고 low-level인 정보가 아니라, 짝수냐 홀수냐고 하는 좀더 high-level 정보이다.

(짝수/홀수가 아닌 prime number냐 아니냐로 설정할수도 있고 관심사에 따라 다양하다)

따라서 우리가 관심이 있는 짝수, 홀수등을 사건으로 정의하고 확률변수 X등을 붙인다.

(표본이 아닌 사건에 확률변수를 붙임에 주의, 물론 표본자체가 관심사이면 표본=사건이 될 수도 있다.)

여기서 정의역이 표본공간인 {1,2,3,4,5,6}이고 치역이 {짝수,홀수}인 함수를 생각해보면 표본에서 사건으로 매핑되는 테이블이 하나 나오는데,

이 때문에 확률변수를 함수로 해석한다는 개념이 나오지만 중요하진 않으므로 넘어가자.

각 사건들은 이런개념에서는 치역이 되지만, P(짝수)=1/2처럼 확률에 대해서는 정의역이 됨에 주의(여기서 치역의 범위는 [0, 1]인 실수)

사건공간은 필드라고도 하며 F로 표기하는데, 

필드라는 용어는 표본공간의 부분집합을 모아놓은 집합이면서, 원소끼리 합집합,교집합,여집합을 해도 닫혀있으면 필드라고 한다.

즉 표본공간이 {1,2,3,4,5,6}일때 사건공간 F = {{1,2,3},{4,5,6}} 이렇게 짝수, 홀수로만 해놓으면 합집합등에 대해 닫혀있지 않기 때문에 다음처럼 공집합과 전체집합을 포함해야 완전해지고 필드가 된다.

$$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$$

$$F = \{\emptyset, \Omega, 짝수, 홀수\}$$

사건공간의 각 사건에 대해서 확률을 표시하면 다음과 같다.

$$P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1, P(짝수)=1/2, P(홀수)=1/2$$

확률공간(probability space)

위의 $\Omega, F, P$를 모아서 확률공간이라 한다.

확률공간 ($\Omega, F, P$)

$\Omega$: 표본공간

$F$: $\Omega$의 부분집합으로 이루어진 사건들을 모아놓은 집합. 표본공간의 치역이면서 동시에 아래 확률 함수의 정의역 

$P$: $F$에 정의된 각 사건에 대한 확률 함수.. 즉 $F$의 치역이 되며 범위는 [0, 1]이다. 

주사위 짝수/홀수 실험에서는 다음과 같다.

$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

$F = \{\emptyset, \Omega, 짝수, 홀수\}$

$P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1, P(짝수)=1/2, P(홀수)=1/2$

확률변수(random variable)

확률공간에서 각 사건별 확률이 있을때 확률변수 X를 써서 다음처럼 표기

$$P(X=사건)=확률$$

위의 주사위 짝수/홀수 실험에서는 다음처럼 된다.

$$P(X=짝수)=1/2, P(X=홀수)=1/2$$

확률변수는 이처럼 각 사건에 대응되고, 반복실험을 할때마다 발생하는 사건이 확률에 따라 달라지므로,

확률변수 X를 실험의 관측사건으로 해석하면 편한경우도 있다.

관측사건으로 해석하면 다음처럼 기대값을 구할때 확률변수를 쓰는것도 자연스럽게 이해가 된다.

$$E(X) = \sum x_ip_i$$