고유값, 고유벡터(eigenvalue and eigenvector)

선형변환이 일어난 후에도 크기는 변하더라도 방향이 변하지 않는 벡터를 고유벡터라 하고, 그때 변하는 크기의 양을 고유값이라고 한다.

특정 선형변환은 특히 행렬로 표시하면 간단한 경우가 많고, 고유값, 고유벡터는 이행렬의 특징을 나타내게 된다.

고유값, 고유벡터는 정방행렬에 대해서만 정의된다.

위 정의에 따라 어떤 행렬 A에 대해서 $Av=\lambda v$를 만족하는 $\lambda, v$가 있을때 이를 각각 고유값, 고유벡터라 한다.

어떤 숫자의 본질적인 특성을 나타내는게 prime number라고 할 수 있듯이,

어떤 행렬(선형변환)의 본질적인 특성을 나타내는게 고유벡터, 고유값이라고 말할 수 있다.

PCA(주성분 분석)에 쓰이는 모습을 보면 그런점을 명확하게 더 파악할 수 있다고 본다.

전반적인 개념을 잡는데는 이 링크가 아주 좋다.

한글 문서중에는 이 링크가 좋다.

존재여부에 대해서는 어떤행렬은 고유값, 고유벡터가 없을수도 있고 하나만 존재하거나 최대 n개까지 존재할 수 있다.

직관

여기서 첫번째 답변이 다항식의 근에 비유한 표현과, 그 밑에 답변에서 hinge(경첩)에 비유한 표현이 좋은거 같다.

왜냐면 방향이 변하지 않는 부분이기 때문에 일종의 말뚝을 박아놓은 부분이라 전체적인 변환의 특성을 표현하기 좋기 때문인거 같애

다항식의 근이 그렇듯이 (다항식의 근을 보면 대충 어떻게 생긴지 앎.. 왜냐면 근은 y=0 축에다가 못 움직이게 말뚝을 박아놓은 형태기 때문에 )

고유벡터 예제

1. 모나리자

2. 자전운동

자전운동은 회전변환인데 이 변환에 의해 변하지 않는 고유벡터는 회전축(자전축)벡터일 것이고 그 고유값은 1이 될 것이다(스케일이 변하지 않으므로)

고유벡터 활용예

1. 고유값 분해(eigendecomposition, =대각화?)

이건 마치 prime factorization과 비슷한 느낌이다.

요건 별도 문서로 정리하자

2. 특이값분해(SVD)

3. 주성분분석(PCA)

고유벡터 문제풀이 예제

외부링크

https://math.stackexchange.com/questions/243533/how-to-intuitively-understand-eigenvalue-and-eigenvector

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