Sevity Blog

여기, 여기, 여기를 보면 기본 개념에 대해서는 얼추 파악할 수 있다.

LCA를 구할때 쓰는 Binary Lifting도 sparse table의 일종이다.

기본 개념은 O(N)걸리는 쿼리를 전처리 작업을 통해서 O(log N)이나 O(1)로 줄인다고 하는것

그걸 위해서 A[N] 이란게 있다고 하면 ST[log2(N)][N] 이런 스케일로 테이블 정의하고..

ST[0][N] = A[N]으로 초기화 한다음에

REP1(i, max_level)REP(j,N) ST[i][j] = ST[i-1][어쩌구]..저쩌구 이런식으로 한다.

i가 1증가할때 마다 2배씩 뛰는건데 자세한건 위의 링크를 참조하자.

기본LCA문제를 풀 때에도 ancestor 만들때 위의 기술을 사용하고,

단순히 합성함수를 효율적으로 구하는 문제에서도 사용된다.

트리 정점 a, b의 경로에서 가장 가중치 큰거나 작은거 하나 출력하는 문제에서도 사용되고,

a,b경로중 k번째 정점을 찾는 문제에서도 사용된다.

아직 나도 통달한건 아니라 이정도로 기록해둔다.

여기보면 개념자체는 간단한다.

$O(N)$ 나이브 구현

더깊은 애부터 하나씩 올려서 만나는데 까지 해보는 방식으로 해보면 된다.

구현도 트리로 인한 복잡성은 약간 있지만, 나이브한 편이고 내가 구현해본 건 다음과 같다. 이 문제의 답안이기도 하다.

$O(log N)$ 구현 (쿼리 형태면 $O(M \times log N)$)

역시 여기를 보면 과정을 이해하기 쉽도록 설명되어 있다. 다만, 그 구현과정에서 실수가 들어가기 쉬운데, 이건 내가 직접 구현하기보다 구현되어 있는걸 가져다 쓰는 형식이 좋을 것 같다. 내 라이브러리와 합쳐진 버전은 다음과 같다.

이 문제의 답안이기도 하다.

여기참조

유향그래프가 있을 때, 오더링 하는 방법론에 대한게 위상정렬이고, 

DFS를 이용한 방법(DFS Spanning Tree)과

Queue를 이용한 방법(indgree)이 있다. 나한테는 이방식이 편했다.

위상 정렬이 성립하기 위해서는 반드시 그래프의 순환이 존재하지 않아야 한다. 즉, 그래프가 비순환 유향 그래프(DAG)여야 한다.

사이클이 있는 경우는 오더링이 불가 하고, DFS와 Queue모두 이를 중간 과정을 통해 디텍트 할 수 있다.

위키피디아의 다음 설명을 읽어보자

위상정렬을 가장 잘 설명해 줄 수 있는 예로 대학의 선수과목(prerequisite) 구조를 예로 들 수 있다. 만약 특정 수강과목에 선수과목이 있다면 그 선수 과목부터 수강해야 하므로, 특정 과목들을 수강해야 할 때 위상 정렬을 통해 올바른 수강 순서를 찾아낼 수 있다. 이와 같이 선후 관계가 정의된 그래프 구조 상에서 선후 관계에 따라 정렬하기 위해 위상 정렬을 이용할 수 있다. 

그렇다면 위상정렬과 DAG과의 관계는 무엇인가.. 위상정렬이 가능하려면 (사이클이 없는) DAG이어야 한다고 말할 수 있다.

위상정렬에 대한 풀어보면 좋은 문제는 다음과 같다.

백준 ACM Craft : 바닐라 한데, 제약조건이 좀 빡빡하다(100,000이라 adjacent matrix 사용 불가)

BFS방식

여기 예제를 통한 설명 좋다.

일반 BFS와의 차이점은 사이클 처리를 위해서 while(q.empty()==false) 이걸로 루프돌리는게 아니라,

for(int i=0;i<N;i++) 이걸로 루프돌리는게 특이하고, 인접리스트와 별도로 in-edge카운팅해줘서 0이되는것만 enqueue하면 된다.

아래는 내가 구현하고 이 문제로 검증한 코드이다.

DFS방식

DFS로 방문할 수 있는 모든 노드를 재귀적으로 방문한뒤..
방문할 수 있는 next가 없으면
topological_sort 와 같은 큐에 데이터를 집어넣고, 이를 역순으로 표시

개념은 매우 간단하다. 여기보면 이해하기 쉬운편(PS관점에서 trie에 관한 다른 인사이트도 얻을 수 있다)

단어가 끝나는 지점에 마킹해야함에 유의

글자단위 Trie

아래는 내가 구현해본 Trie코드이며, 이 문제의 답안이기도 하다.

단어단위 Trie

이건 응용인데 글자단위와 비슷한 개념으로 풀 수 있다. 이 문제 참조.

여기를 보면 기본 개념에 대해서 쉽게 익힐 수 있다. 본 글에서는 그럼에도 헷갈리는 점 위주로 써본다.

전체 문자열 텍스트T(길이 N)와, 찾으려는 패턴P(길이 M)가 있을때, 나이브하게 구현하면 $O(NM)$이 걸린다.

KMP를 사용하면 이를 $O(N+M)$으로 줄일 수 있다.

Pi함수(실패함수, 오버랩함수)

Pi함수는 위의 텍스트T와 패턴P중에서 패턴P에 대해서 미리 계산해놓는 함수이다. 실패함수라고도 하며, 문자열 매칭이 미스났을때 어디까지 back할지 정보를 제공한다.

pi[i]는 실패후에 앞부분에 이미 매칭한걸로 치는 오버랩구간을 의미하기 때문에 나는 오버랩함수라고 부른다.

예를 들어 위와 같은 형태가 있을때, 6번 인덱스에서 불일치가 일어났는데 

위와 같이 텍스트에서 불일치가 발생한 C왼쪽 부분에서 이미 매칭한걸로 치는 오버랩 구간은 최대한 길게 잡았을때 AB임을 알 수 있다. 

좀더 길게 DAB로 잡고 싶어도 패턴이 D로 시작하지 않는다. 아예 ABCDAB로 잡으려고 하면 이미 실패한 패턴이고 제자리걸음이라 택할수 없다.

따라서 위와 같이, 텍스트의 C왼쪽 postfix AB와 패턴의 prefix AB를 위처럼 오버랩시키고 나면 인덱스 6부터 다시 비교를 시작하면 된다.

오버랩함수가 2일때 패턴을 보면 오른쪽으로 6-2=4칸 점프(?)한걸 볼 수 있는데,

이처럼 오버랩함수의 값이 오히려 작으면 작을수록 점프를 많이한다.

오버랩함수가 5이면 6-5=1이라서 한 칸만 오른쪽으로 이동한다.

오버랩이 많이 되면 오른쪽이동량은 적은대신 이미 많이 오버랩되어 있으므로 적게 추가로 매칭되면 매칭이 완성되는 장점이 있으므로 무조건 오버랩이 적게되서 오른쪽으로 점프를 많이 하는게 좋은건 아니다.

그래서 pi[i]는 주어진 문자열의 0~i 까지의 부분 문자열 중에서 최대 prefix == suffix길이로 세팅한다.

문자열 "ABAABAB"의 pi배열을 구해봅시다.

팰린드롬 개념이 아님에 주의!

문자열 "ABABABC"의 pi배열을 구해봅시다.

prefix와 posfix가 오버랩되도 문제없음에 주의(위의 초록색 글자)

이해하기는 쉽지만, 효율적으로 $O(M)$에 pi함수를 구하는건 약간 어렵다.

그래도 맨위 링크를 통해 공부하고 아래와 같은 함수를 짤 수 있었다.

오버랩을 while로 여러번 적용하는 케이스가 발생하는 것은 아래를 참조하자.

KMP

CCW(Counter Clock-Wise)

이론적으로는 외적을 구하는것 같은데, 알고리즘 기하문제를 풀기위해 사용한다. 

용도1. 다각형 면적구하기

점3개를 주면 꼭지점 3개로 해석해 면적을 구해준다. (정확히는 평행사변형의 면적을 주는건데 삼각형의 면적이 더 유용해서 2로 나눠서 쓴다)

이걸 사용하면 도형의 외각선 좌표들이 순서대로 주어질때 아래처럼 삼각형으로 쪼개면 다각형의 면적을 구할 수 있다.

 

 

내 소스는 다음과 같다. 이 문제의 답안이기도 하다.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

#include <bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; #define REP(i,n) for(int i=1;i<=(int)(n);i++)   struct point { int x, y; }; double CCW(point A, point B, point C) {     return (B.x - A.x) * (C.y - A.y) - (C.x - A.x) * (B.y - A.y); }   int32_t main() {     vector<point> v;     int N, x, y; cin >> N; REP(i, N)cin >> x >> y, v.push_back({ x,y });       double sum = 0;     for (int i = 1; i < N-1; i++) {         sum += CCW(v[0], v[i], v[i + 1]);     }     cout.precision(1);     cout << fixed << (double)abs(sum)/2 <<'\n';     return 0; } Colored by Color Scripter

cs

 

용도2. 점 3개의 방향성 구하기

용도3. 선분교차 판단

여기에 설명 잘 나와있어서 보고 이해하면 될 것 같다.

주의할점은 CCW를 1,0,-1을 리턴하는 것으로 변경하지 않으면 long long을 사용해도 오버플로가 날 수 있다는 점이다(아래코드 보면 CCW간 곱셈이 들어가서..)

아래코드를 나중에 활용하자. 이 문제의 답안이기도 하다.

이진으로 꽉차있는 다음과 같은 트리를 말한다.

leaf node에서 오른쪽에서 부터 몇개 비면 완전이진트리라고도 한다. (때로는 포화이진트리를 완전이진트리라고 부르기도 한다.)

배열로 표현하기 좋다.

포화이진트리코드

트리의 속성

정점이 N이면 간선의 개수는 N-1개이다.

인접리스트를 트리로 만들때 root노드는 아무거로나 선택해도 답에 지장이 없(었다 지금까지는).

인접리스트를 트리로 전환하기

간선 가중치 없는 무방향 인접리스트를 방향그래프 형태의 트리로 전환해준다.

이렇게 했을때 이점은 parent방향으로 이동하는 간선을 끊어버리기 때문에 순서를 매겨서 루트부터 전 노드 방문하기가 편해진다.

아래 코드에서 treefy()를 재활용하면 된다.이 문제의 답안이기도 하다. 하나의 함수로 패키징하기 위해서 람다(lambda) 함수를 사용했고, 재귀를 가능하게 하기 위해서 std::function을 사용했다.

랜덤으로 트리 인풋만들기

디버깅을 하거나 문제를 출제하다보면, 랜덤한 트리를 만들 필요가 있는데, 임의로 간선을 선택하다보면 사이클이 생겨서 잘 안된다.

이럴때 MST구할때 쓰는 크루스칼 알고리즘을 사용하면 간단하게 사이클 없는 트리를 만들 수 있다.

아래는 내가 구현한 코드이다.

돌리면 아래와 같은 결과를 출력한다.

트리 모양을 툴로 확인해보면 다음과 같다.

주어진 그래프가 트리인지 판정하기

일단 트리는 undirected graph에서만 정의되기 때문에, undirected로 한정할 수 있고,

이 문제의 경우처럼, 유니온파인드로 판정하는게 비교적 쉬운 방법인 것 같다.

여기 참조

작성중

여기 참조함

아래처럼 그래프에서 사이클을 제거하고 트리형태로 만들면 신장트리라고 한다.

트리로 만들었기 때문에 간선의 수는 정점이N개 일때 정확히 N-1개가 된다.

트리일 경우 항상 간선은 N-1이 되는건 맞지만 위의 예시 처럼 반드시 직선이 되지는 않는다. 아래 MST예시 참조

최소신장트리는 신장트리중 간선 가중치합이 최소인 트리를 말한다.

간선가중치가 없을 때는 O(N-1)임이 명확하므로 Trivial 하다(이 문제 참조)

최소신장트리를 구하는데는 크루스칼알고리즘과 프림알고리즘이 있다.

둘다 음수가중치가 있어도 정상 동작가능하다.

크루스칼(Kruskal) 알고리즘(간선중심)

선행지식: 유니온 파인드(Union-Find)

간선중심이라 첫 간선이 최종답안에 포함되지 않을 수 있다.

> 근데 아닌듯. 소팅한다음에 최소 간선부터 시작인데 이건 무조건 포함하는듯하다.

가중치 오름차순으로 간선을 소팅한다음 union find로 사이클 체크하면서 사이클이 아닌경우 가중치합을 구해주면 된다.(무척간단)

중간과정에서는 정점별로 그룹이 생겨서 사이클도 판단하고 그렇지만, 유니온파인드 과정을 마치고 나면 모든 정점은 하나의 그룹에 포함되게 된다(이점 주의)

여기에 설명 잘되어 있고, 아래는 내 구현이다. 이 문제의 답안이기도 함

간결한 풀이를 위해 일반적인 인접리스트와 다르게 {u, v, w}자체를 백터로 전달했음에 주의(union-find특징상 이렇게 간단히 전달해도 잘 풀림)

위 코드의 경우 모든 정점이 사용되지 않아도 정상MST로 판정하는데 해당 부분을 수정한 코드는 아래와 같다.(base1도 추가)

struct node { int u, v, w; };
int MST_Kruskal(int max_v, vector<node>& v, bool base1=false) {
    if (base1) max_v++;
    struct union_find {
        vector<int> parent;
        int components;
        union_find(int n) : components(n) {
            parent.resize(n + 1);
            for (int i = 0; i <= n; i++) parent[i] = i;
        }
        int find(int x) {
            int ox = x;
            while (parent[x] != x) x = parent[x];
            return parent[ox] = x;
        }
 
        void uni(int x, int y) {
            int xp = find(x), yp = find(y);
            if (xp != yp) {
                parent[yp] = xp;
                components--;
            }
        }
    };

    sort(v.begin(), v.end(), [](node& a, node& b) {return a.w < b.w; });
    union_find uf(max_v);
    int ans = 0;
    for (auto a : v) {
        if (uf.find(a.u) == uf.find(a.v)) continue;
        uf.uni(a.u, a.v);
        ans += a.w;
    }
    
    if (uf.components != 1+base1) return -1;  // 모든 정점을 사용하지 않으면 -1리턴
    return ans;
}

크루스칼에는 소팅이 들어가기 때문에 보통 $O(E \times log(E))$로 계산하지만, 카운팅 소트가 가능한 경우는 $O(E)$로 계산되기도 하고,

전체가 다 소팅이 필요하다기 보다는 V-1개의 간선이 완성될때 까지만 필요하기 때문에, 힙소팅이 유리할수도 있는 측면이 있다.

관련하여 이런 논문도 발견

프림(Prim) 알고리즘(정점 중심)

선행지식: 너비 우선 탐색(Breadth-first search, BFS), 다익스트라 알고리즘 Dijkstra (필수는 아님)

정점 중심이라 시작정점은 MST에 꼭 포함되게 된다.(모든 정점이 포함되므로)

프림은 여기보면 예제 보면 설명 잘되어 있고, 설명을 보면 Queue를 쓴다고 되어 있고 우선순위큐 이야기가 나오기 때문에, 다익스트라 변형으로 풀 수 있을 것 같은 느낌이 든다. 그런데 아래 예제를 보면..

다익스트라는 1번에서 거리상 유리한 2번을 방문한다음에 1번에서 2번째로 집어넣은 3번을 방문하게 된다. 즉 간선으로 보자면 [1,2]간선을 방문하고 [1,3]간선을 방문하게 되는데, 프림알고리즘 상에서는 [1,2]간선을 방문한다음 [2,3]간선과 [1,3]간선을 비교해서 [2,3]간선이 더 비용이 싸므로 먼저 방문하게 된다는 점에서 다익스트라와 차이점을 발견했다. 게다가 음수사이클이 있을때 다익스트라는 무한루프에 빠지게 되는데, 프림에서는 한번 방문한 노드를 다시 방문하지 않는 식으로 방문처리도 다르게 해야한다.

아래는 내가 수정해본 코드이고, 위의 크루스칼과 같은 문제의 답안이기도 하다.

크루스칼 vs 프림

일반적으로는 간선이 sparse 할수록 크루스칼이 유리하고 dense할수록 프림이 유리한걸로 알려져 있다.

크루스칼의 시간 복잡도는 정렬하는데 $O(E \times log(E))$정도 걸리고, 유니온파인드 하는데 $O(E)$정도 걸리므로, 전체적으로 $O(E \times log(E))$정도로 보면 될 것 같다.

프림의 복잡도는 다익스트라와 비슷하게 $O((V+E)\times log(V))$이다. (우선순위큐를 쓴 경우이며, 피보나치힙을 쓴경우는 좀 더 내려간다)

Dense한 그래프의 경우는 $E=V^2$정도이므로 크루스칼은 $O(V^2 log(V^2))$, 프림은 $O(V^2 log(V))$정도로 보면 될거 같다.

Sparse(V > E)한 그래프의 경우는 크루스칼은 $O(E \times log(E))$, 프림은 $O(V \times log(V))$가 되므로 크루스칼이 유리하다.