공통조상(LCA, Lowest Common Ancestor) 알고리즘

여기보면 개념자체는 간단한다.

$O(N)$ 나이브 구현

더깊은 애부터 하나씩 올려서 만나는데 까지 해보는 방식으로 해보면 된다.

구현도 트리로 인한 복잡성은 약간 있지만, 나이브한 편이고 내가 구현해본 건 다음과 같다. 이 문제의 답안이기도 하다.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using vi = vector<int>;
using vvi = vector<vi>;
#define REP(i,n) for(int i=0;i<(int)(n);i++)
const int INF = (int)1e9;
 
 
//무방향그래프를 인풋으로 받아, 특정 정점을 루트를 가지는 방향그래프(트리)로 만들어준다.
struct result { vector<vi> tree; int root; vi parent, level; };
result treefy(vector<vi>& adj_list, int root = -1, bool base1 = false) {
    int max_v = (int)adj_list.size();
    vector<vi> tree(max_v);
    if (root == -1)
    {
        //find root(왼쪽이 parent인경우만 성립)
        map<int, int> m;
        for (int i = (int)base1; i < max_v; i++)
            for (auto a : adj_list[i]) m[a]++;
        for (int i = (int)base1; i < max_v; i++)
            if (m[i] == 0) { root = i; break; }
    }
    vi parent(max_v), level(max_v);
    function<void(int, int, int)> dfs = [&](int node, int par, int lv) {
        parent[node] = par, level[node] = lv;
        for (auto adj : adj_list[node]) {
            if (adj == par) continue;  // 부모방향 간선제거
            tree[node].push_back(adj);
            dfs(adj, node, lv + 1);
        }
    };
    dfs(root, -INF, 1);
 
    return { tree, root, parent, level };
}
 
int32_t main()
{
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    int T; cin>>T;while(T--){
        int N;cin>>N;
        vvi adj_list(N + 1);
        REP(i,N - 1)
        {
            int u,v;cin>>u>>v; adj_list[u].push_back(v);
        }
        result r = treefy(adj_list, -1, true);
        int a,b;cin>>a>>b;
        if (r.level[a] > r.level[b]) swap(a, b);
        while (r.level[a] < r.level[b]) b = r.parent[b];
        while (a != b) a = r.parent[a], b = r.parent[b];
        cout << (a) << '\n';
    }
 
    return 0;
}

$O(log N)$ 구현 (쿼리 형태면 $O(M \times log N)$)

역시 여기를 보면 과정을 이해하기 쉽도록 설명되어 있다. 다만, 그 구현과정에서 실수가 들어가기 쉬운데, 이건 내가 직접 구현하기보다 구현되어 있는걸 가져다 쓰는 형식이 좋을 것 같다. 내 라이브러리와 합쳐진 버전은 다음과 같다.

이 문제의 답안이기도 하다.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using vi = vector<int>;
using vvi = vector<vi>;
const int INF = (int)1e9;
 
//무방향그래프를 인풋으로 받아, 트리로 만들어준다.LCA를 위한 작업도 해준다.
struct result {vvi tree;int root;vi parent,level; int max_level;vvi ancestor;};
result treefy(vector<vi>& adj_list, int root = -1, bool base1 = false) {
    int max_v = (int)adj_list.size();
    vector<vi> tree(max_v);
    if (root == -1)
    {
        // find root(왼쪽이 parent인경우만 성립하는듯, 안그러면 root가 여러개다)
        map<int, int> m;
        for (int i = (int)base1; i < max_v; i++)
            for (auto a : adj_list[i]) m[a]++;
        for (int i = (int)base1; i < max_v; i++)
            if (m[i] == 0) { root = i; break; }
    }
    vi parent(max_v), level(max_v);
    int max_level = (int)floor(log2(max_v));
    // ac[y][x] :: x의 2^y번째 조상을 의미
    vvi ac(max_level + 1, vi(max_v, -INF));
    function<void(int, int, int)> dfs = [&](int node, int par, int lv) {
        parent[node] = par, level[node] = lv;
        ac[0][node] = par;  // 첫번째(2^0) 조상은 부모
        for (auto adj : adj_list[node]) {
            if (adj == par) continue;  // 부모방향 간선제거
            tree[node].push_back(adj);
            dfs(adj, node, lv + 1);
        }
    };
    dfs(root, -INF, 1);
    for (int i = 1; i <= max_level; i++) {
        for (int j = 1; j < max_v; j++) {
            int tmp = ac[i - 1][j];
            if (tmp == -INF) continue;
            ac[i][j] = ac[i - 1][tmp];
        }
    }
 
    return { tree, root, parent, level,max_level, ac };
}
 
int lca(int u, int v, int max_level, vi& level, vvi& ancestor)
{
    if (level[u] < level[v]) swap(u, v);  // b가 더 깊도록 조정
    int diff = level[u] - level[v];
    for (int i = 0; diff; i++) {
        if (diff & 1) u = ancestor[i][u];  //b를 올려서 level을 맞춘다.
        diff >>= 1;
    }
    if (u == v) return u;
    for (int i = max_level; i >= 0; i--) {
        // a와 b가 다르다면 현재 깊이가 같으니, 깊이를 a,b동시에 계속 올려준다.
        if (ancestor[i][u] != ancestor[i][v]) 
            u = ancestor[i][u], v = ancestor[i][v];
    }
    return ancestor[0][u];
}
 
int32_t main()
{
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
 
    int N; cin >> N; vvi adj_list(N + 1);
    for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        adj_list[u].push_back(v);
        adj_list[v].push_back(u);
    }
    result r = treefy(adj_list, 1, true);
    int m; cin >> m; for (int z = 0; z < m; z++)
    {
        int a, b; cin >> a >> b;
        int ans = lca(a, b, r.max_level, r.level, r.ancestor);
        cout << (ans) << '\n';
    }
    return 0;
}