확률변수 개념: 표본공간의 결과를 수치 함수로 해석하기

핵심 정리

확률변수는 표본공간의 각 결과를 수치에 대응시키는 함수로 해석할 수 있습니다. 이 글은 주사위 눈을 그대로 쓰는 경우와 짝수 여부만 1 또는 0으로 기록하는 경우를 비교하고, 동전 던지기의 보상값 예시로 같은 관점을 보여 줍니다.

• 주사위 눈을 그대로 기록하면 표본 결과와 확률변수 값이 1:1로 대응합니다.
• 짝수이면 1, 홀수이면 0으로 정하면 정의역 {1,2,3,4,5,6}의 여러 결과가 치역 {0,1}의 같은 값으로 매핑됩니다.
• 이 매핑에서는 확률변수 X가 나온 눈 자체가 아니라 짝수인지 홀수인지 나타내는 수치가 됩니다.
• 동전 던지기 예시의 확률변수 Y도 heads 또는 tails라는 결과를 보상값으로 대응시키는 함수 형태입니다.

확률변수를 함수로 보면 실험의 결과와, 관심 있는 기준에 따라 그 결과에서 추출한 수치 표현을 구분해 읽기 쉽습니다.

이어서 볼 글

• 푸아송 분포 개념과 예제: 발생 횟수, 람다, 이항분포 근사 - 확률변수 X를 사건 발생 횟수로 두고 분포를 계산하는 구체적인 다음 예제다.

 

확률변수를 함수로 해석하기

보통은 위의 간단 정의로 충분한데.. 함수해석이 굳이 필요한 이유는 무엇일까..

위의 주사위 예에서는 표본공간과 관측값인 확률변수가 1:1 관계이지만,

(주사위 1이 나오면 확률변수 X = 1, 주사위 2가 나오면 확률변수 X = 2 등...)

만약에 확률변수를 다음과 같이 정의하면

- 주사위가 짝수가 나오면 1, 홀수가 나오면 0

정의역 {1,2,3,4,5,6} 이고 치역 {0,1}인 함수처럼 된다.

이런 경우는 확률 변수 X를 함수로 보는 해석이 더 자연스럽고 편할수 있다.

• 이때 확률변수 X는 '주사위를 굴렸을 때 나온 수의 짝수/홀수 여부'가 된다

• 다시한 번 말하지만 정의역 {1,2,3,4,5,6} 이고 치역 {0,1}인 함수처럼 된다.

• 다른말로 표본공간 > 가측공간(내 멋대로 0, 1로 정의)의 함수처럼 된다.

짝수와 홀수를 0, 1로 매핑하는 확률변수의 함수 표현

실제 예를 보면 다음과 같다.(확률변수로 X가 아닌 Y가 쓰였다)

Coin Toss

The possible outcomes for one coin toss can be described by the sample space Ω={heads,tails}. We can introduce a real-valued random variable Y that models a $1 payoff for a successful bet on heads as follows:

동전 던지기 결과를 보상값에 대응시키는 확률변수 예시