확률론 - 확률변수를 함수로 해석하기

확률변수를 함수로 해석하기

보통은 위의 간단 정의로 충분한데.. 함수해석이 굳이 필요한 이유는 무엇일까..

위의 주사위 예에서는 표본공간과 관측값인 확률변수가 1:1 관계이지만,

(주사위 1이 나오면 확률변수 X = 1, 주사위 2가 나오면 확률변수 X = 2 등...)

만약에 확률변수를 다음과 같이 정의하면

- 주사위가 짝수가 나오면 1, 홀수가 나오면 0

정의역 {1,2,3,4,5,6} 이고 치역 {0,1}인 함수처럼 된다.

이런 경우는 확률 변수 X를 함수로 보는 해석이 더 자연스럽고 편할수 있다.

• 이때 확률변수 X는 '주사위를 굴렸을 때 나온 수의 짝수/홀수 여부'가 된다

• 다시한 번 말하지만 정의역 {1,2,3,4,5,6} 이고 치역 {0,1}인 함수처럼 된다.

• 다른말로 표본공간 > 가측공간(내 멋대로 0, 1로 정의)의 함수처럼 된다.

짝수와 홀수를 0, 1로 매핑하는 확률변수의 함수 표현

실제 예를 보면 다음과 같다.(확률변수로 X가 아닌 Y가 쓰였다)

Coin Toss

The possible outcomes for one coin toss can be described by the sample space Ω={heads,tails}. We can introduce a real-valued random variable Y that models a $1 payoff for a successful bet on heads as follows:

동전 던지기 결과를 보상값에 대응시키는 확률변수 예시