확률론 - 조건부확률

조건부확률

확률 공간 Ω에서의 두 사건 A, B에 대해서 P(B) > 0일 때 사건 B가 이미 일어났을 때 사건 A의 조건부 확률은

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 영국 베이즈(Bayes)가 발견.

$P(A \cap B)는 P(A, B)$로도 표시한다

> A와 B가 독립사건이면 $P(A|B)=P(A)$ 이므로, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$임에 주의

다음 사건을 정의해 보자.

> A: 첫번째 주사위의 눈이 3 \\ B: 두번째 주사위의 눈이 1 \\ C: 두 주사위 눈의 합이 8

여기서 $P(A)=P(B)={\frac 16}$이고 $P(C)={\frac 5{36}}$이다. 이 중 몇 개의 사건은 동시에 일어날 수 있다. A와 C가 동시에 발생하려면 주사위 2의 눈의 수가 5이어야 하므로 두 사건의 곱사건으로 확률은 $P(A\cap C)={\frac 1{36}}$이다. 한편 B와 C는 동시에 일어나지 않으므로 $P(B\cap C)=0$이다.

여기서 주사위 2는 덮어두고 주사위 1의 눈이 3이 나왔다고 가정하자. 그러면 사건 C가 일어날 확률은 주사위 2의 눈이 반드시 5가 나와야 하므로 5/36이 아니라 1/6이 된다. 이를 사건 A가 일어났을 때 사건 C가 일어날 조건부 확률이라 하며 $P(C|A)$로 표현한다.

> A는 이미 일어난 상황이고, C는 아직 일어나지 않은 상황임에 주의!

한편 사건 A는 사건 B가 일어나는 데 영향을 주지 않는다. 이 때 두 사건은 서로 독립이며 다음 관계가 성립한다.

$ P(B|A)=P(B) $

심화: 베이지안

$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$ 이렇게도 쓸 수 있고 여기에 알기 쉽게 설명되어 있다.